আমাদের মহাবিশ্বের সমতল, গোলাকার বা অধিবৃত্তীয় আকৃতি?

2024 লেখক: Seth Attwood | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-16 15:59

আমাদের দৃষ্টিতে মহাবিশ্ব অসীম। আজ আমরা জানি যে পৃথিবীর একটি গোলকের আকৃতি আছে, কিন্তু মহাবিশ্বের আকৃতি সম্পর্কে আমরা খুব কমই চিন্তা করি। জ্যামিতিতে, "পরিচিত" অসীম স্থানের বিকল্প হিসাবে অনেকগুলি ত্রিমাত্রিক আকার রয়েছে। লেখক সবচেয়ে অ্যাক্সেসযোগ্য ফর্ম মধ্যে পার্থক্য ব্যাখ্যা.

রাতের আকাশের দিকে তাকালে মনে হয় মহাকাশ চিরকাল সব দিকেই চলে। এভাবেই আমরা মহাবিশ্বের কল্পনা করি - কিন্তু তা যে সত্য তা নয়। সর্বোপরি, এমন একটি সময় ছিল যখন সবাই ভাবত যে পৃথিবী সমতল: পৃথিবীর পৃষ্ঠের বক্রতা অদৃশ্য, এবং পৃথিবী গোলাকার এই ধারণাটি বোধগম্য বলে মনে হয়েছিল।

আজ আমরা জানি যে পৃথিবী একটি গোলকের আকারে রয়েছে। কিন্তু মহাবিশ্বের আকৃতি নিয়ে আমরা খুব কমই ভাবি। যেহেতু গোলকটি সমতল পৃথিবীর প্রতিস্থাপিত হয়েছে, অন্যান্য ত্রিমাত্রিক ফর্মগুলি "পরিচিত" অসীম স্থানের বিকল্প প্রস্তাব করে।

মহাবিশ্বের আকৃতি সম্পর্কে দুটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে - পৃথক কিন্তু আন্তঃসম্পর্কিত। একটি জ্যামিতি সম্পর্কে - কোণ এবং ক্ষেত্রফলের সূক্ষ্ম গণনা। আরেকটি হল টপোলজি সম্পর্কে: কীভাবে পৃথক অংশগুলি একক আকারে একত্রিত হয়।

মহাজাগতিক তথ্য থেকে জানা যায় যে মহাবিশ্বের দৃশ্যমান অংশটি মসৃণ এবং একজাতীয়। স্থানের স্থানীয় কাঠামো প্রতিটি বিন্দুতে এবং প্রতিটি দিকে প্রায় একই রকম দেখায়। শুধুমাত্র তিনটি জ্যামিতিক আকার এই বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে মিলে যায় - সমতল, গোলাকার এবং হাইপারবোলিক। আসুন এই আকারগুলি ঘুরে দেখি, কিছু টপোলজিকাল বিবেচনা এবং মহাজাগতিক তথ্যের উপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক।

সমতল মহাবিশ্ব

আসলে, এটি স্কুল জ্যামিতি। একটি ত্রিভুজের কোণগুলি 180 ডিগ্রি পর্যন্ত যোগ করে এবং একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হল πr2। একটি সমতল ত্রিমাত্রিক আকৃতির সহজ উদাহরণ হল একটি সাধারণ অসীম স্থান, গণিতবিদরা একে ইউক্লিডীয় বলে থাকেন, তবে অন্যান্য সমতল বিকল্প রয়েছে।

এই আকারগুলি কল্পনা করা সহজ নয়, তবে আমরা তিনটির পরিবর্তে দুটি মাত্রায় চিন্তা করে আমাদের অন্তর্দৃষ্টিকে সংযুক্ত করতে পারি। সাধারণ ইউক্লিডীয় সমতল ছাড়াও, আমরা সমতলের একটি অংশ কেটে তার প্রান্তগুলিকে আঠালো করে অন্যান্য সমতল আকৃতি তৈরি করতে পারি। ধরা যাক আমরা কাগজের একটি আয়তক্ষেত্রাকার টুকরো কেটেছি এবং এর বিপরীত প্রান্তগুলি টেপ দিয়ে টেপ করেছি। আপনি যদি উপরের প্রান্তটি নীচের প্রান্তে আঠালো করেন তবে আপনি একটি সিলিন্ডার পাবেন।

আপনি বাম দিকে ডান প্রান্তটিও আঠালো করতে পারেন - তারপরে আমরা একটি ডোনাট পাই (গণিতবিদরা এই আকারটিকে টরাস বলে)।

আপনি সম্ভবত আপত্তি করবেন: "কিছু খুব সমতল নয়।" এবং আপনি সঠিক হবে. ফ্ল্যাট টরাস সম্পর্কে আমরা একটু প্রতারণা করছিলাম। আপনি যদি সত্যিই এইভাবে কাগজের টুকরো থেকে টরাস তৈরি করার চেষ্টা করেন তবে আপনি কিছু অসুবিধার মধ্যে পড়বেন। একটি সিলিন্ডার তৈরি করা সহজ, তবে এটি তার প্রান্তগুলিকে আঠালো করতে কাজ করবে না: কাগজটি টরাসের অভ্যন্তরীণ বৃত্ত বরাবর চূর্ণবিচূর্ণ হবে, তবে এটি বাইরের বৃত্তের জন্য যথেষ্ট হবে না। তাই আপনাকে কিছু ইলাস্টিক উপাদান নিতে হবে। কিন্তু স্ট্রেচিং দৈর্ঘ্য এবং কোণ পরিবর্তন করে, এবং সেইজন্য সমগ্র জ্যামিতি।

জ্যামিতিকে বিকৃত না করে একটি সাধারণ ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিতরে একটি সমতল উপাদান থেকে একটি বাস্তব মসৃণ ভৌত টরাস তৈরি করা অসম্ভব। এটি একটি ফ্ল্যাট টরাসের ভিতরে বাস করার মতো বিমূর্তভাবে অনুমান করা বাকি।

কল্পনা করুন যে আপনি একটি দ্বি-মাত্রিক সত্তা যার মহাবিশ্ব একটি সমতল টরাস। যেহেতু এই মহাবিশ্বের আকৃতি কাগজের একটি সমতল শীটের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, তাই সমস্ত জ্যামিতিক তথ্য একই থাকতে ব্যবহার করা হয় - অন্তত একটি সীমিত স্কেলে: একটি ত্রিভুজের কোণগুলি 180 ডিগ্রি পর্যন্ত যোগ করে, ইত্যাদি। কিন্তু ট্রিমিং এবং গ্লুইং এর মাধ্যমে গ্লোবাল টপোলজির পরিবর্তনের সাথে সাথে জীবন নাটকীয়ভাবে পরিবর্তিত হবে।

শুরুতে, টরাসের সরল রেখা রয়েছে যা লুপ করে এবং প্রারম্ভিক বিন্দুতে ফিরে আসে।

একটি বিকৃত টরাসে, তারা বাঁকা দেখায়, কিন্তু একটি সমতল টরাসের বাসিন্দাদের কাছে তারা সোজা বলে মনে হয়। আর আলো যেহেতু সরলরেখায় ভ্রমণ করে, সেহেতু আপনি যদি সরাসরি যেকোনো দিকে তাকান তাহলে আপনি নিজেকে পেছন থেকে দেখতে পাবেন।

এটি যেন, কাগজের আসল টুকরোতে, আলো আপনার মধ্য দিয়ে গেছে, বাম প্রান্তে গেছে এবং তারপরে ডানদিকে আবার দেখা দিয়েছে, যেমন একটি ভিডিও গেমে।

এটি সম্পর্কে চিন্তা করার আরেকটি উপায় এখানে: আপনি (বা আলোর রশ্মি) চারটি প্রান্তের একটি অতিক্রম করুন এবং নিজেকে একটি নতুন ঘরে খুঁজে পান, কিন্তু আসলে এটি একই ঘর, শুধুমাত্র একটি ভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে। এমন একটি মহাবিশ্বের মধ্য দিয়ে ঘুরে বেড়ালে, আপনি আসল ঘরের অবিরাম সংখ্যক অনুলিপি দেখতে পাবেন।

এর মানে হল যে আপনি যেখানেই তাকাবেন সেখানেই আপনি নিজের অসীম সংখ্যক কপি নিয়ে যাবেন। এটি এক ধরনের মিরর ইফেক্ট, শুধুমাত্র এই কপিগুলো ঠিক প্রতিফলন নয়।

টরাসে, তাদের প্রতিটি এক বা অন্য লুপের সাথে মিলে যায়, যার সাথে আলো আপনার কাছে ফিরে আসে।

একইভাবে, একটি ঘনক্ষেত্র বা অন্য বাক্সের বিপরীত মুখগুলিকে আঠা দিয়ে আমরা একটি সমতল ত্রিমাত্রিক টরাস পাই। আমরা এই স্থানটিকে একটি সাধারণ অসীম স্থানের মধ্যে চিত্রিত করতে সক্ষম হব না - এটি কেবল ফিট হবে না - তবে আমরা এর ভিতরের জীবন সম্পর্কে বিমূর্তভাবে অনুমান করতে সক্ষম হব।

যদি একটি দ্বি-মাত্রিক টরাসের জীবন অভিন্ন আয়তক্ষেত্রাকার কক্ষগুলির একটি অবিরাম দ্বি-মাত্রিক বিন্যাসের মতো হয়, তবে একটি ত্রিমাত্রিক টরাসের জীবন অভিন্ন ঘন কক্ষগুলির একটি অবিরাম ত্রিমাত্রিক বিন্যাসের মতো। আপনিও, আপনার নিজের একটি অসীম সংখ্যক কপি দেখতে পাবেন।

ত্রিমাত্রিক টরাস সসীম সমতল জগতের দশটি রূপের মধ্যে একটি মাত্র। এছাড়াও অসীম সমতল জগত রয়েছে - উদাহরণস্বরূপ, একটি অসীম সিলিন্ডারের একটি ত্রিমাত্রিক অ্যানালগ। এই বিশ্বের প্রতিটির নিজস্ব "প্রতিফলন" সহ "হাসির ঘর" থাকবে।

আমাদের মহাবিশ্ব কি সমতল রূপগুলির মধ্যে একটি হতে পারে?

আমরা যখন মহাকাশে তাকাই, তখন আমরা আমাদের নিজস্ব অনুলিপিগুলির অসীম সংখ্যা দেখতে পাই না। নির্বিশেষে, ফ্ল্যাট আকারগুলি নির্মূল করা সহজ নয়। প্রথমত, তাদের সকলের ইউক্লিডীয় স্থানের মতো একই স্থানীয় জ্যামিতি রয়েছে, তাই স্থানীয় পরিমাপ দিয়ে তাদের আলাদা করা সম্ভব হবে না।

ধরা যাক আপনি এমনকি আপনার নিজের অনুলিপিটি দেখেছেন, এই দূরবর্তী চিত্রটি কেবল দেখায় যে আপনি (বা আপনার গ্যালাক্সি) দূরবর্তী অতীতে কীভাবে দেখেছিলেন, যেহেতু আলো আপনার কাছে পৌঁছানো পর্যন্ত দীর্ঘ পথ এসেছে। হয়তো আমরা আমাদের নিজস্ব কপিও দেখতে পাই - কিন্তু স্বীকৃতির বাইরে পরিবর্তিত। তাছাড়া, বিভিন্ন অনুলিপি আপনার থেকে বিভিন্ন দূরত্বে রয়েছে, তাই তারা একরকম নয়। এবং পাশাপাশি, এত দূরে যে আমরা এখনও কিছুই দেখতে পাব না।

এই অসুবিধাগুলি পেতে, জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা সাধারণত নিজের প্রতিলিপিগুলি সন্ধান করেন না, তবে সবচেয়ে দূরবর্তী দৃশ্যমান ঘটনার পুনরাবৃত্তি বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য - মহাজাগতিক মাইক্রোওয়েভ পটভূমি বিকিরণ, এটি বিগ ব্যাং-এর একটি অবশেষ। অনুশীলনে, এর অর্থ গরম এবং ঠান্ডা দাগের মিলিত নিদর্শনগুলির সাথে জোড়া বৃত্তের সন্ধান করা - এটি অনুমান করা হয় যে তারা একই, শুধুমাত্র বিভিন্ন দিক থেকে।

জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা প্লাঙ্ক স্পেস টেলিস্কোপের জন্য 2015 সালে এমন একটি অনুসন্ধান পরিচালনা করেছিলেন। তারা কাকতালীয় বৃত্তের প্রকারের ডেটা একত্রিত করেছে যা আমরা একটি ফ্ল্যাট 3D টরাস বা অন্যান্য ফ্ল্যাট 3D আকৃতি - একটি তথাকথিত প্লেটের ভিতরে দেখতে আশা করি - কিন্তু তারা কিছুই খুঁজে পায়নি। এর মানে হল যে যদি আমরা একটি টরাসে বাস করি, তাহলে এটি এত বড় বলে মনে হয় যে কোনও পুনরাবৃত্তি করা টুকরাগুলি পর্যবেক্ষণযোগ্য মহাবিশ্বের বাইরে থাকে।

গোলাকার আকৃতি

আমরা দ্বি-মাত্রিক গোলকের সাথে খুব পরিচিত - এটি একটি বল, একটি কমলা বা পৃথিবীর পৃষ্ঠ। কিন্তু আমাদের মহাবিশ্ব যদি একটি ত্রিমাত্রিক গোলক হয়?

একটি ত্রিমাত্রিক গোলক আঁকা কঠিন, তবে এটি একটি সাধারণ উপমা দিয়ে বর্ণনা করা সহজ। যদি একটি দ্বি-মাত্রিক গোলক সাধারণ ত্রিমাত্রিক স্থানের কিছু কেন্দ্রীয় বিন্দু থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি হয়, তবে একটি ত্রিমাত্রিক গোলক (বা "ট্রাইস্ফিয়ার") হল কিছু থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি। চার-মাত্রিক স্থানের কেন্দ্রীয় বিন্দু।

ত্রিস্ফিয়ারের ভিতরের জীবন সমতল স্থানের জীবন থেকে অনেক আলাদা। এটি কল্পনা করতে, কল্পনা করুন যে আপনি একটি দ্বি-মাত্রিক গোলকের মধ্যে একটি দ্বি-মাত্রিক সত্তা। দ্বি-মাত্রিক গোলক হল সমগ্র মহাবিশ্ব, তাই আপনি আপনার চারপাশের ত্রিমাত্রিক স্থান দেখতে পারবেন না এবং এতে প্রবেশ করতে পারবেন না। এই গোলাকার মহাবিশ্বে, আলো সবচেয়ে ছোট পথ দিয়ে ভ্রমণ করে: বড় বৃত্তে। কিন্তু এই চেনাশোনাগুলি আপনার কাছে সোজা বলে মনে হচ্ছে৷

এখন কল্পনা করুন যে আপনি এবং আপনার 2D বন্ধু উত্তর মেরুতে আড্ডা দিচ্ছেন এবং তিনি হাঁটতে গিয়েছিলেন। দূরে সরে গেলে, প্রথমে এটি আপনার চাক্ষুষ বৃত্তে ধীরে ধীরে হ্রাস পাবে - সাধারণ বিশ্বের মতো, যদিও আমরা অভ্যস্ত হয়েছি তত দ্রুত নয়। এর কারণ হল আপনার ভিজ্যুয়াল সার্কেল যত বাড়বে, আপনার বন্ধু কমবেশি তা গ্রহণ করবে।

কিন্তু যত তাড়াতাড়ি আপনার বন্ধু বিষুবরেখা অতিক্রম করে, অদ্ভুত কিছু ঘটে: সে আকারে বৃদ্ধি পেতে শুরু করে, যদিও বাস্তবে সে দূরে সরে যায়। এর কারণ হল আপনার ভিজ্যুয়াল সার্কেলে তাদের দখলের শতাংশ বাড়ছে।

দক্ষিণ মেরু থেকে তিন মিটার দূরে, আপনার বন্ধুকে মনে হবে সে আপনার থেকে তিন মিটার দূরে দাঁড়িয়ে আছে।

দক্ষিণ মেরুতে পৌঁছানোর পরে, এটি আপনার পুরো দৃশ্যমান দিগন্তকে সম্পূর্ণরূপে পূরণ করবে।

এবং যখন দক্ষিণ মেরুতে কেউ নেই, তখন আপনার চাক্ষুষ দিগন্ত আরও অপরিচিত হবে - এটি আপনি। এর কারণ হল আপনি যে আলোটি নির্গত করবেন তা ফিরে না আসা পর্যন্ত পুরো গোলক জুড়ে ছড়িয়ে পড়বে।

এটি সরাসরি 3D জগতের জীবনকে প্রভাবিত করে। ত্রিস্ফিয়ারের প্রতিটি বিন্দুর একটি বিপরীত আছে, এবং যদি সেখানে একটি বস্তু থাকে তবে আমরা পুরো আকাশে এটি দেখতে পাব। যদি সেখানে কিছুই না থাকে তবে আমরা পটভূমিতে নিজেদের দেখতে পাব - যেন আমাদের চেহারাটি একটি বেলুনের উপর চাপানো হয়েছে, তারপরে ভিতরে ঘুরিয়ে পুরো দিগন্তে স্ফীত করা হয়েছে।

কিন্তু যদিও ট্রাইস্ফিয়ার হল গোলাকার জ্যামিতির ভিত্তি মডেল, এটি একমাত্র সম্ভাব্য স্থান থেকে অনেক দূরে। আমরা যেমন ইউক্লিডীয় স্থানের টুকরো কেটে এবং আঠা দিয়ে বিভিন্ন সমতল মডেল তৈরি করেছি, তাই আমরা ত্রিস্ফিয়ারের উপযুক্ত টুকরোগুলিকে আঠা দিয়ে গোলাকার তৈরি করতে পারি। এই আঠালো আকৃতিগুলির প্রতিটি, টরাসের মতো, একটি "হাসির ঘর" এর প্রভাব থাকবে, শুধুমাত্র গোলাকার আকৃতির কক্ষের সংখ্যা সসীম হবে।

যদি আমাদের মহাবিশ্ব গোলাকার হয়?

এমনকি আমাদের মধ্যে সবচেয়ে নার্সিসিস্টিকরাও নিজেদেরকে রাতের আকাশের পরিবর্তে পটভূমি হিসাবে দেখেন না। কিন্তু, একটি ফ্ল্যাট টরাসের ক্ষেত্রে, আমরা যে কিছু দেখতে পাই না তার মানে এই নয় যে এটির অস্তিত্ব নেই। একটি গোলাকার মহাবিশ্বের সীমানা দৃশ্যমান বিশ্বের সীমার চেয়ে বড় হতে পারে এবং পটভূমিটি কেবল দৃশ্যমান নয়।

কিন্তু টরাসের বিপরীতে, স্থানীয় পরিমাপ ব্যবহার করে একটি গোলাকার মহাবিশ্ব সনাক্ত করা যেতে পারে। গোলাকার আকারগুলি কেবল বৈশ্বিক টপোলজিতে নয়, ছোট জ্যামিতিতেও অসীম ইউক্লিডীয় স্থান থেকে পৃথক। উদাহরণস্বরূপ, যেহেতু গোলাকার জ্যামিতিতে সরলরেখাগুলি বড় বৃত্ত, তাই সেখানে ত্রিভুজগুলি ইউক্লিডীয়গুলির তুলনায় "মোটা" এবং তাদের কোণের যোগফল 180 ডিগ্রি ছাড়িয়ে যায়।

মূলত, মহাজাগতিক ত্রিভুজ পরিমাপ করা মহাবিশ্ব কতটা বাঁকা তা পরীক্ষা করার প্রধান উপায়। মহাজাগতিক মাইক্রোওয়েভ পটভূমিতে প্রতিটি গরম বা ঠান্ডা স্থানের জন্য, এর ব্যাস এবং পৃথিবী থেকে দূরত্ব, ত্রিভুজের তিনটি বাহু তৈরি করে, জানা যায়। আমরা রাতের আকাশে স্পট দ্বারা গঠিত কোণটি পরিমাপ করতে পারি - এবং এটি ত্রিভুজের একটি কোণ হবে। তারপরে আমরা পরীক্ষা করতে পারি যে পাশের দৈর্ঘ্য এবং কোণের যোগফল প্ল্যানার, গোলাকার বা হাইপারবোলিক জ্যামিতির সাথে মিলে যায় কিনা (যেখানে ত্রিভুজের কোণের যোগফল 180 ডিগ্রির কম)।

বক্রতার অন্যান্য পরিমাপের সাথে এই গণনার বেশিরভাগই অনুমান করে যে মহাবিশ্ব হয় সম্পূর্ণ সমতল বা এর খুব কাছাকাছি। একটি গবেষণা দল সম্প্রতি পরামর্শ দিয়েছে যে প্ল্যাঙ্ক স্পেস টেলিস্কোপ থেকে 2018 সালের কিছু তথ্য একটি গোলাকার মহাবিশ্বের পক্ষে বেশি কথা বলে, যদিও অন্যান্য গবেষকরা যুক্তি দিয়েছিলেন যে উপস্থাপিত প্রমাণগুলি পরিসংখ্যানগত ত্রুটির জন্য দায়ী করা যেতে পারে।

হাইপারবোলিক জ্যামিতি

একটি গোলকের বিপরীতে, যেটি নিজেই বন্ধ হয়ে যায়, অধিবৃত্ত জ্যামিতি বা ঋণাত্মক বক্রতা সহ স্থান বাইরের দিকে খোলে। এটি প্রশস্ত-কাঁচযুক্ত টুপি, প্রবাল প্রাচীর এবং স্যাডলের জ্যামিতি। হাইপারবোলিক জ্যামিতির মৌলিক মডেল হল অসীম স্থান, ঠিক সমতল ইউক্লিডিয়ানের মতো। কিন্তু যেহেতু একটি হাইপারবোলিক আকৃতি একটি সমতল আকৃতির চেয়ে অনেক দ্রুত বাইরের দিকে প্রসারিত হয়, তাই সাধারণ ইউক্লিডীয় স্থানের অভ্যন্তরে এমনকি একটি দ্বি-মাত্রিক হাইপারবোলিক তলকে ফিট করার কোনো উপায় নেই, যদি আমরা এর জ্যামিতিকে বিকৃত করতে না চাই। কিন্তু হাইপারবোলিক প্লেনের একটি বিকৃত চিত্র রয়েছে যা Poincare disc নামে পরিচিত।

আমাদের দৃষ্টিকোণ থেকে, সীমানা বৃত্তের কাছাকাছি ত্রিভুজগুলিকে কেন্দ্রের কাছাকাছি থাকা তুলনায় অনেক ছোট বলে মনে হয়, কিন্তু অতিভুজ জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, সমস্ত ত্রিভুজ একই। যদি আমরা এই ত্রিভুজগুলিকে সত্যিই একই আকারের চিত্রিত করার চেষ্টা করি - সম্ভবত স্থিতিস্থাপক উপাদান ব্যবহার করে এবং প্রতিটি ত্রিভুজকে পালাক্রমে স্ফীত করে কেন্দ্র থেকে বাইরের দিকে সরানো হয় - আমাদের ডিস্কটি একটি চওড়া-কাঁটাযুক্ত টুপির মতো হবে এবং আরও বেশি করে বাঁকবে। এবং আপনি যতই সীমান্তের কাছাকাছি যাবেন, এই বক্রতা নিয়ন্ত্রণের বাইরে চলে যাবে।

সাধারণ ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, একটি বৃত্তের পরিধি সরাসরি তার ব্যাসার্ধের সমানুপাতিক, কিন্তু অধিবৃত্ত জ্যামিতিতে, বৃত্তটি ব্যাসার্ধের সাপেক্ষে দ্রুতগতিতে বৃদ্ধি পায়। হাইপারবোলিক ডিস্কের সীমানার কাছে ত্রিভুজের একটি গাদা তৈরি হয়

এই বৈশিষ্ট্যটির কারণে, গণিতবিদরা বলতে চান যে হাইপারবোলিক স্পেসে হারিয়ে যাওয়া সহজ। যদি আপনার বন্ধু স্বাভাবিক ইউক্লিডীয় স্থানে আপনার থেকে দূরে সরে যায়, তবে সে দূরে সরে যেতে শুরু করবে, বরং ধীরে ধীরে, কারণ আপনার ভিজ্যুয়াল সার্কেল এত দ্রুত বৃদ্ধি পায় না। হাইপারবোলিক স্পেসে, আপনার ভিজ্যুয়াল সার্কেল দ্রুতগতিতে প্রসারিত হয়, তাই আপনার বন্ধু শীঘ্রই একটি অসীম ছোট দাগে সঙ্কুচিত হবে। সুতরাং, আপনি যদি তার পথ অনুসরণ না করে থাকেন তবে আপনি তাকে পরে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা নেই।

এমনকি হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে, একটি ত্রিভুজের কোণের যোগফল 180 ডিগ্রির কম - উদাহরণস্বরূপ, Poincare disk মোজাইক থেকে কিছু ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি মাত্র 165 ডিগ্রি।

তাদের দিকগুলি পরোক্ষ বলে মনে হচ্ছে, কিন্তু এর কারণ হল আমরা একটি বিকৃত লেন্সের মাধ্যমে হাইপারবোলিক জ্যামিতি দেখছি। Poincaré ডিস্কের বাসিন্দাদের জন্য, এই বক্ররেখাগুলি আসলে সরল রেখা, তাই বিন্দু A থেকে বিন্দুতে যাওয়ার দ্রুততম উপায় হল কেন্দ্রে কাটার মাধ্যমে।

Poincaré ডিস্কের একটি ত্রিমাত্রিক অ্যানালগ তৈরি করার একটি প্রাকৃতিক উপায় রয়েছে - একটি ত্রিমাত্রিক বল নিন এবং এটিকে ত্রিমাত্রিক আকার দিয়ে পূর্ণ করুন, যা সীমানা গোলকের কাছে যাওয়ার সাথে সাথে পয়নকেরে ডিস্কের ত্রিভুজের মতো ধীরে ধীরে হ্রাস পায়। এবং, সমতল এবং গোলকের মতো, আমরা একটি ত্রি-মাত্রিক হাইপারবোলিক বলের উপযুক্ত টুকরো কেটে এবং এর মুখগুলিকে আঠা দিয়ে অন্যান্য ত্রিমাত্রিক হাইপারবোলিক স্পেসগুলির একটি সম্পূর্ণ হোস্ট তৈরি করতে পারি।

আচ্ছা, আমাদের মহাবিশ্ব কি হাইপারবোলিক?

হাইপারবোলিক জ্যামিতি, এর সংকীর্ণ ত্রিভুজ এবং ক্রমবর্ধমান বৃত্ত সহ, আমাদের চারপাশের স্থানের মতো নয়। প্রকৃতপক্ষে, আমরা ইতিমধ্যেই উল্লেখ করেছি, বেশিরভাগ মহাজাগতিক পরিমাপ সমতল মহাবিশ্বের দিকে ঝুঁকে পড়ে।

কিন্তু আমরা একটি গোলাকার বা হাইপারবোলিক জগতে বাস করি তা উড়িয়ে দিতে পারি না, কারণ উভয় জগতের ছোট ছোট টুকরো প্রায় সমতল দেখায়। উদাহরণস্বরূপ, গোলাকার জ্যামিতিতে ছোট ত্রিভুজগুলির কোণের যোগফল 180 ডিগ্রির থেকে সামান্য বেশি এবং হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে এটি সামান্য কম।

তাই প্রাচীনরা মনে করতেন পৃথিবী সমতল - পৃথিবীর বক্রতা খালি চোখে দেখা যায় না। গোলাকার বা হাইপারবোলিক আকৃতি যত বড় হবে, তার প্রতিটি অংশকে চাটুকার করবে, তাই, যদি আমাদের মহাবিশ্বের একটি অত্যন্ত বড় গোলাকার বা হাইপারবোলিক আকৃতি থাকে, তবে এর দৃশ্যমান অংশ সমতলের এত কাছাকাছি যে এর বক্রতা শুধুমাত্র অতি-নির্ভুল যন্ত্রের সাহায্যে সনাক্ত করা যায়, এবং আমরা এখনও তাদের উদ্ভাবন করিনি। …