ফ্র্যাক্টাল কি: গণিত এবং অসীম সৌন্দর্য

2024 লেখক: Seth Attwood | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-16 15:59

ফ্র্যাক্টালগুলি এক শতাব্দী ধরে পরিচিত, ভালভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং জীবনে অসংখ্য প্রয়োগ রয়েছে। যাইহোক, এই ঘটনাটি একটি খুব সাধারণ ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে: আকারের একটি দল, সৌন্দর্য এবং বৈচিত্র্যে অসীম, শুধুমাত্র দুটি অপারেশন ব্যবহার করে তুলনামূলকভাবে সহজ কাঠামো থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে - অনুলিপি এবং স্কেলিং।

একটি গাছ, একটি সমুদ্রতীর, একটি মেঘ, বা আমাদের হাতের রক্তনালীগুলির মধ্যে কী মিল রয়েছে? প্রথম নজরে, মনে হতে পারে যে এই সমস্ত বস্তুর মধ্যে কিছু মিল নেই। যাইহোক, প্রকৃতপক্ষে, সমস্ত তালিকাভুক্ত বস্তুর অন্তর্নিহিত কাঠামোর একটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে: তারা স্ব-সদৃশ। শাখা থেকে, সেইসাথে গাছের কাণ্ড থেকে, ছোট শাখা আছে, তাদের থেকে - এমনকি ছোট, ইত্যাদি, অর্থাৎ, শাখাটি পুরো গাছের মতো।

সংবহন ব্যবস্থা একইভাবে সাজানো হয়: ধমনী থেকে ধমনী প্রস্থান করে এবং তাদের থেকে - ক্ষুদ্রতম কৈশিক যার মাধ্যমে অক্সিজেন অঙ্গ এবং টিস্যুতে প্রবেশ করে। আসুন সমুদ্র উপকূলের উপগ্রহ চিত্রগুলি দেখি: আমরা উপসাগর এবং উপদ্বীপ দেখতে পাব; আসুন এটি একবার দেখে নেওয়া যাক, তবে পাখির চোখের দৃষ্টিভঙ্গি থেকে: আমরা উপসাগর এবং কেপগুলি দেখতে পাব; এখন কল্পনা করা যাক যে আমরা সমুদ্র সৈকতে দাঁড়িয়ে আমাদের পায়ের দিকে তাকিয়ে আছি: সেখানে সর্বদা নুড়ি থাকে যা বাকিদের চেয়ে আরও বেশি পানিতে প্রবেশ করে।

অর্থাৎ, জুম ইন করলে উপকূলরেখাটি নিজের মতোই থাকে। আমেরিকান (যদিও ফ্রান্সে বেড়ে ওঠা) গণিতবিদ বেনোইট ম্যান্ডেলব্রট বস্তুর এই বৈশিষ্ট্যটিকে ফ্র্যাক্টালিটি বলে অভিহিত করেছেন, এবং এই জাতীয় বস্তুগুলি নিজেরাই - ফ্র্যাক্টাল (ল্যাটিন ফ্র্যাক্টাস থেকে - ভাঙা)।

ফ্র্যাক্টাল কি?

এই ধারণার কোন কঠোর সংজ্ঞা নেই। অতএব, "ফ্র্যাক্টাল" শব্দটি একটি গাণিতিক শব্দ নয়। সাধারণত, একটি ফ্র্যাক্টাল হল একটি জ্যামিতিক চিত্র যা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে এক বা একাধিককে সন্তুষ্ট করে: • এটির যে কোনও বিবর্ধনে একটি জটিল কাঠামো রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, একটি সরল রেখার বিপরীতে, যার যে কোনও অংশ হল সবচেয়ে সহজ জ্যামিতিক চিত্র - একটি লাইনের অংশ). • (প্রায়) স্ব-সদৃশ। • একটি ভগ্নাংশ হাউসডর্ফ (ভগ্নাংশ) মাত্রা আছে, যা টপোলজিকালের চেয়ে বড়। • পুনরাবৃত্ত পদ্ধতি দ্বারা নির্মিত হতে পারে.

জ্যামিতি এবং বীজগণিত

19 এবং 20 শতকের শুরুতে ফ্র্যাক্টালগুলির অধ্যয়ন পদ্ধতিগত চেয়ে বরং এপিসোডিক ছিল, কারণ পূর্ববর্তী গণিতবিদরা প্রধানত "ভাল" বস্তুগুলি অধ্যয়ন করতেন যা সাধারণ পদ্ধতি এবং তত্ত্বগুলি ব্যবহার করে গবেষণার জন্য উপযুক্ত ছিল। 1872 সালে, জার্মান গণিতবিদ কার্ল উইয়েরস্ট্রাস একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের একটি উদাহরণ তৈরি করেন যা কোথাও আলাদা করা যায় না। যাইহোক, এর নির্মাণ ছিল সম্পূর্ণ বিমূর্ত এবং উপলব্ধি করা কঠিন।

অতএব, 1904 সালে, সুইডিশ হেলজ ভন কোচ একটি অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখা আবিষ্কার করেছিলেন, যার কোথাও কোনও স্পর্শক নেই এবং এটি আঁকা বেশ সহজ। এটি একটি ফ্র্যাক্টাল বৈশিষ্ট্য আছে যে পরিণত. এই বক্ররেখার একটি রূপকে "কোচ স্নোফ্লেক" বলা হয়।

পরিসংখ্যানগুলির স্ব-সাদৃশ্যের ধারণাগুলি ফরাসি নাগরিক পল পিয়ের লেভি, বেনোইট ম্যান্ডেলব্রটের ভবিষ্যতের পরামর্শদাতা দ্বারা বাছাই করা হয়েছিল। 1938 সালে, তিনি তার নিবন্ধ "সমতল এবং স্থানিক বক্ররেখা এবং সারফেস, সমগ্রের অনুরূপ অংশ নিয়ে গঠিত" প্রকাশ করেন, যা আরেকটি ফ্র্যাক্টাল বর্ণনা করে - লেভি সি-বক্ররেখা। উপরের এই সমস্ত ফ্র্যাক্টালগুলি শর্তসাপেক্ষে এক শ্রেণীর গঠনমূলক (জ্যামিতিক) ফ্র্যাক্টালের জন্য দায়ী করা যেতে পারে।

আরেকটি শ্রেণী হল গতিশীল (বীজগণিত) ফ্র্যাক্টাল, যার মধ্যে ম্যান্ডেলব্রট সেট রয়েছে। এই দিকের প্রথম অধ্যয়নগুলি 20 শতকের শুরুতে শুরু হয়েছিল এবং ফরাসি গণিতবিদ গ্যাস্টন জুলিয়া এবং পিয়েরে ফাতুর নামের সাথে যুক্ত।1918 সালে, জুলিয়ার প্রায় দুই-শত পৃষ্ঠার স্মৃতিকথা, জটিল যৌক্তিক ফাংশনগুলির পুনরাবৃত্তির জন্য উত্সর্গীকৃত, প্রকাশিত হয়েছিল, যেখানে জুলিয়ার সেটগুলি বর্ণনা করা হয়েছিল - ম্যান্ডেলব্রট সেটের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত ফ্র্যাক্টালগুলির একটি সম্পূর্ণ পরিবার। এই কাজটি ফরাসি একাডেমীর পুরষ্কারে ভূষিত হয়েছিল, তবে এটিতে একটি চিত্রও ছিল না, তাই আবিষ্কৃত বস্তুর সৌন্দর্যের প্রশংসা করা অসম্ভব ছিল।

এই কাজটি সেই সময়ের গণিতবিদদের মধ্যে জুলিয়াকে মহিমান্বিত করেছিল তা সত্ত্বেও, এটি দ্রুত ভুলে গিয়েছিল। অর্ধ শতাব্দী পরে কম্পিউটারগুলি আবার নজরে আসে: তারাই ফ্র্যাক্টাল জগতের সম্পদ এবং সৌন্দর্যকে দৃশ্যমান করেছিল।

ফ্র্যাক্টাল মাত্রা

আপনি জানেন যে, একটি জ্যামিতিক চিত্রের মাত্রা (পরিমাপের সংখ্যা) হল এই চিত্রটিতে থাকা একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ধারণের জন্য প্রয়োজনীয় স্থানাঙ্কের সংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, একটি বক্ররেখার একটি বিন্দুর অবস্থান একটি স্থানাঙ্ক দ্বারা, একটি পৃষ্ঠে (অগত্যা একটি সমতল নয়) দুটি স্থানাঙ্ক দ্বারা, ত্রিমাত্রিক স্থানে তিনটি স্থানাঙ্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়।

আরও সাধারণ গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, আপনি এইভাবে মাত্রা সংজ্ঞায়িত করতে পারেন: রৈখিক মাত্রা বৃদ্ধি, বলুন, দুইবার, এক-মাত্রিক (একটি টপোলজিকাল দৃষ্টিকোণ থেকে) বস্তুর (সেগমেন্ট) আকার বৃদ্ধির দিকে পরিচালিত করে (দৈর্ঘ্য) দুইবার, দ্বি-মাত্রিক (বর্গক্ষেত্র) জন্য রৈখিক মাত্রার একই বৃদ্ধি আকার (ক্ষেত্রফল) 4 গুণ বৃদ্ধি করে, ত্রিমাত্রিক (ঘনক) - 8 গুণ বৃদ্ধি করে। অর্থাৎ, "বাস্তব" (তথাকথিত হাউসডর্ফ) মাত্রাটি একটি বস্তুর "আকার" বৃদ্ধির লগারিদমের অনুপাত হিসাবে তার রৈখিক আকার বৃদ্ধির লগারিদমের অনুপাত হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। অর্থাৎ, D = লগ (2) / লগ (2) = 1 সেগমেন্টের জন্য, সমতলের জন্য D = লগ (4) / লগ (2) = 2, আয়তনের জন্য D = লগ (8) / লগ (2)) = 3।

আসুন এখন কোচ বক্ররেখার মাত্রা গণনা করা যাক, যার নির্মাণের জন্য একক অংশটিকে তিনটি সমান অংশে ভাগ করা হয়েছে এবং মধ্যবর্তী ব্যবধানটি এই অংশটি ছাড়াই একটি সমবাহু ত্রিভুজ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে। ন্যূনতম সেগমেন্টের রৈখিক মাত্রা তিনবার বৃদ্ধির সাথে, কোচ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য লগ (4) / লগ (3) ~ 1, 26-এ বৃদ্ধি পায়। অর্থাৎ, কোচ বক্ররেখার মাত্রা ভগ্নাংশীয়!

বিজ্ঞান এবং শিল্প

1982 সালে, ম্যান্ডেলব্রটের বই "দ্য ফ্র্যাক্টাল জিওমেট্রি অফ নেচার" প্রকাশিত হয়েছিল, যেটিতে লেখক ফ্র্যাক্টাল সম্পর্কে সেই সময়ে উপলব্ধ প্রায় সমস্ত তথ্য সংগ্রহ ও পদ্ধতিগত করেছিলেন এবং এটি একটি সহজ এবং অ্যাক্সেসযোগ্য পদ্ধতিতে উপস্থাপন করেছিলেন। তার উপস্থাপনায়, ম্যান্ডেলব্রট জটিল সূত্র এবং গাণিতিক নির্মাণের উপর নয়, পাঠকদের জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টির উপর প্রধান জোর দিয়েছেন। কম্পিউটার-উত্পাদিত চিত্র এবং ঐতিহাসিক কাহিনীগুলির জন্য ধন্যবাদ, যার সাহায্যে লেখক দক্ষতার সাথে মনোগ্রাফের বৈজ্ঞানিক উপাদানটি পাতলা করে, বইটি একটি বেস্টসেলার হয়ে ওঠে এবং ফ্র্যাক্টালগুলি সাধারণ মানুষের কাছে পরিচিত হয়ে ওঠে।

অ-গণিতবিদদের মধ্যে তাদের সাফল্য মূলত এই কারণে যে খুব সাধারণ নির্মাণ এবং সূত্রগুলির সাহায্যে যা একজন উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থী বুঝতে পারে, আশ্চর্যজনক জটিলতা এবং সৌন্দর্যের চিত্রগুলি পাওয়া যায়। যখন ব্যক্তিগত কম্পিউটার যথেষ্ট শক্তিশালী হয়ে ওঠে, এমনকি শিল্পের একটি সম্পূর্ণ প্রবণতা উপস্থিত হয়েছিল - ফ্র্যাক্টাল পেইন্টিং, এবং প্রায় কোনও কম্পিউটার মালিক এটি করতে পারে। এখন ইন্টারনেটে, আপনি সহজেই এই বিষয়ে নিবেদিত অনেক সাইট খুঁজে পেতে পারেন।

যুদ্ধ এবং শান্তি

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, ফ্র্যাক্টাল বৈশিষ্ট্য সহ প্রাকৃতিক বস্তুগুলির মধ্যে একটি হল উপকূলরেখা। একটি মজার গল্প তার সাথে যুক্ত, বা বরং, এর দৈর্ঘ্য পরিমাপের প্রচেষ্টার সাথে, যা ম্যান্ডেলব্রটের বৈজ্ঞানিক নিবন্ধের ভিত্তি তৈরি করেছিল এবং তার বই "প্রকৃতির ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতি" এও বর্ণিত হয়েছে।

এটি একটি পরীক্ষা যা লুইস রিচার্ডসন দ্বারা মঞ্চস্থ করা হয়েছিল, একজন অত্যন্ত প্রতিভাবান এবং উদ্ভট গণিতবিদ, পদার্থবিদ এবং আবহাওয়াবিদ। দুই দেশের মধ্যে সশস্ত্র সংঘাতের কারণ এবং সম্ভাবনার গাণিতিক বর্ণনা খুঁজে বের করার প্রচেষ্টা ছিল তার গবেষণার অন্যতম দিক। তিনি যে প্যারামিটারগুলি বিবেচনায় নিয়েছিলেন তার মধ্যে দুটি যুদ্ধরত দেশের সাধারণ সীমান্তের দৈর্ঘ্য ছিল।তিনি যখন সংখ্যাগত পরীক্ষা-নিরীক্ষার জন্য ডেটা সংগ্রহ করেন, তখন তিনি দেখতে পান যে বিভিন্ন উত্সে স্পেন এবং পর্তুগালের মধ্যে সাধারণ সীমান্তের ডেটা খুব আলাদা।

এটি তাকে নিম্নলিখিতগুলি আবিষ্কার করতে অনুপ্রাণিত করেছিল: একটি দেশের সীমানার দৈর্ঘ্য নির্ভর করে আমরা যে শাসকের সাথে তাদের পরিমাপ করি তার উপর। স্কেল যত ছোট হবে, সীমানা তত লম্বা হবে। এটি এই কারণে যে উচ্চতর বিবর্ধনের সাথে আরও বেশি করে উপকূলীয় বাঁকগুলি বিবেচনা করা সম্ভব হয়, যা পরিমাপের রুক্ষতার কারণে পূর্বে উপেক্ষা করা হয়েছিল। এবং যদি, স্কেলের প্রতিটি বৃদ্ধির সাথে, লাইনগুলির বাঁকের জন্য পূর্বে হিসাবহীন খোলা হয়, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে সীমানার দৈর্ঘ্য অসীম! সত্য, বাস্তবে এটি ঘটে না - আমাদের পরিমাপের নির্ভুলতার একটি সীমাবদ্ধ সীমা রয়েছে। এই প্যারাডক্সটিকে রিচার্ডসন প্রভাব বলা হয়।

গঠনমূলক (জ্যামিতিক) ফ্র্যাক্টাল

সাধারণ ক্ষেত্রে একটি গঠনমূলক ফ্র্যাক্টাল গঠনের জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ। প্রথমত, আমাদের দুটি উপযুক্ত জ্যামিতিক আকার দরকার, আসুন তাদের একটি বেস এবং একটি খণ্ড বলি। প্রথম পর্যায়ে, ভবিষ্যতের ফ্র্যাক্টালের ভিত্তি চিত্রিত করা হয়। তারপরে এর কিছু অংশ উপযুক্ত স্কেলে নেওয়া একটি খণ্ড দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয় - এটি নির্মাণের প্রথম পুনরাবৃত্তি। তারপর, ফলস্বরূপ চিত্রটি আবার কিছু অংশকে একটি খণ্ডের অনুরূপ পরিসংখ্যানে পরিবর্তিত করে, এবং তাই।

একটি উদাহরণ হিসাবে কোচ বক্ররেখা ব্যবহার করে এই প্রক্রিয়া বিবেচনা করা যাক। কোচ বক্ররেখার ভিত্তি হিসাবে, আপনি যে কোনও বক্ররেখা নিতে পারেন ("কোচ স্নোফ্লেক" এর জন্য এটি একটি ত্রিভুজ)। কিন্তু আমরা নিজেদেরকে সহজতম ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ রাখব - একটি সেগমেন্ট। একটি খণ্ডটি চিত্রের শীর্ষে দেখানো একটি ভাঙা লাইন। অ্যালগরিদমের প্রথম পুনরাবৃত্তির পরে, এই ক্ষেত্রে, প্রাথমিক সেগমেন্টটি টুকরোটির সাথে মিলে যাবে, তারপরে এর প্রতিটি উপাদান অংশ একটি ভাঙা রেখা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হবে, একটি খণ্ডের মতো, ইত্যাদি। চিত্রটি প্রথম চারটি ধাপ দেখায় এই প্রক্রিয়া.

গণিতের ভাষায়: গতিশীল (বীজগণিত) ফ্র্যাক্টাল

এই ধরনের ফ্র্যাক্টালগুলি অরৈখিক গতিশীল সিস্টেমগুলির অধ্যয়নের মধ্যে উদ্ভূত হয় (তাই নাম)। এই ধরনের সিস্টেমের আচরণ একটি জটিল অরৈখিক ফাংশন (বহুপদ) f (z) দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। জটিল সমতলে কিছু প্রারম্ভিক বিন্দু z0 নিন (সাইডবার দেখুন)। এখন জটিল সমতলে সংখ্যার এমন একটি অসীম ক্রম বিবেচনা করুন, যার প্রত্যেকটি পূর্ববর্তী থেকে প্রাপ্ত হয়েছে: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), … zn + 1 = f (zn)

প্রাথমিক বিন্দু z0 এর উপর নির্ভর করে, এই ধরনের একটি ক্রম ভিন্নভাবে আচরণ করতে পারে: n -> ∞ হিসাবে অসীমের দিকে ঝোঁক; কিছু শেষ বিন্দুতে একত্রিত হওয়া; চক্রাকারে নির্দিষ্ট মানগুলির একটি সংখ্যা গ্রহণ করুন; আরও জটিল বিকল্পগুলিও সম্ভব।

জটিল সংখ্যা

একটি জটিল সংখ্যা হল একটি সংখ্যা যা দুটি অংশ নিয়ে গঠিত - বাস্তব এবং কাল্পনিক, অর্থাৎ, আনুষ্ঠানিক যোগফল x + iy (এখানে x এবং y বাস্তব সংখ্যা)। আমি তথাকথিত কাল্পনিক একক, অর্থাৎ, একটি সংখ্যা যা i^2 = -1 সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি জটিল সংখ্যাগুলির উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় - যোগ, গুণ, ভাগ, বিয়োগ (শুধু তুলনামূলক ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞায়িত করা হয় না)। জটিল সংখ্যাগুলি প্রদর্শনের জন্য, একটি জ্যামিতিক উপস্থাপনা প্রায়শই ব্যবহৃত হয় - সমতলে (এটিকে জটিল বলা হয়), আসল অংশটি অ্যাবসিসাতে এবং কাল্পনিক অংশটি অর্ডিনেটে রাখা হয়, যখন জটিল সংখ্যাটি কার্টেসিয়ানের সাথে একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়। x এবং y স্থানাঙ্ক।

সুতরাং, f(z) ফাংশনের পুনরাবৃত্তির সময় জটিল সমতলের যেকোন বিন্দু z-এর নিজস্ব আচরণের বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং পুরো সমতল অংশে বিভক্ত। এই ক্ষেত্রে, এই অংশগুলির সীমানায় থাকা বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে: একটি নির্বিচারে ছোট স্থানচ্যুতির জন্য, তাদের আচরণের প্রকৃতি তীব্রভাবে পরিবর্তিত হয় (এই ধরনের পয়েন্টগুলিকে দ্বিখণ্ডিত পয়েন্ট বলা হয়)। সুতরাং, এটি দেখা যাচ্ছে যে একটি নির্দিষ্ট ধরণের আচরণ সহ বিন্দুর সেটের পাশাপাশি বিভাজন বিন্দুর সেটগুলিতে প্রায়শই ফ্র্যাক্টাল বৈশিষ্ট্য থাকে। এগুলি f(z) ফাংশনের জন্য জুলিয়া সেট।

ড্রাগন পরিবার

ভিত্তি এবং খণ্ডের পরিবর্তন করে, আপনি গঠনমূলক ফ্র্যাক্টালগুলির একটি আশ্চর্যজনক বৈচিত্র্য পেতে পারেন।

অধিকন্তু, অনুরূপ অপারেশন ত্রিমাত্রিক স্থান সঞ্চালিত করা যেতে পারে. ভলিউম্যাট্রিক ফ্র্যাক্টালের উদাহরণ হল মেনগারের স্পঞ্জ, সিয়ারপিনস্কি পিরামিড এবং অন্যান্য।

ড্রাগন পরিবারকে গঠনমূলক ফ্র্যাক্টাল হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। কখনও কখনও তাদের আবিষ্কারকদের নামে ডাকা হয় "হাইওয়ে-হার্টারের ড্রাগন" (তাদের আকারে তারা চাইনিজ ড্রাগনের মতো)। এই বক্ররেখা প্লট করার বিভিন্ন উপায় আছে। তাদের মধ্যে সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে স্বজ্ঞাত হল: আপনাকে কাগজের একটি পর্যাপ্ত লম্বা ফালা নিতে হবে (কাগজ যত পাতলা হবে, তত ভাল), এবং অর্ধেক ভাঁজ করতে হবে। তারপরে প্রথমবারের মতো একই দিকে আবার দুবার বাঁকুন।

বেশ কয়েকটি পুনরাবৃত্তির পরে (সাধারণত পাঁচ বা ছয়টি ভাঁজের পরে, স্ট্রিপটি আরও মোটা হয়ে যায় যাতে সুন্দরভাবে আরও বাঁকানো যায়), আপনাকে স্ট্রিপটিকে পিছনের দিকে বাঁকতে হবে এবং ভাঁজগুলিতে 90˚ কোণ তৈরি করার চেষ্টা করতে হবে। তারপর ড্রাগনের বক্ররেখা প্রোফাইলে চালু হবে। অবশ্যই, এটি কেবলমাত্র একটি আনুমানিক হবে, যেমন আমাদের সমস্ত ফ্র্যাক্টাল বস্তুগুলিকে চিত্রিত করার প্রচেষ্টা। কম্পিউটার আপনাকে এই প্রক্রিয়ার আরও অনেক ধাপ চিত্রিত করতে দেয় এবং ফলাফলটি একটি খুব সুন্দর চিত্র।

ম্যান্ডেলব্রট সেটটি একটু ভিন্নভাবে তৈরি করা হয়েছে। fc (z) = z^2 + c ফাংশনটি বিবেচনা করুন, যেখানে c একটি জটিল সংখ্যা। আসুন z0 = 0 দিয়ে এই ফাংশনের একটি সিকোয়েন্স তৈরি করি, c প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে, এটি অসীমের দিকে যেতে পারে বা আবদ্ধ থাকতে পারে। অধিকন্তু, c এর সমস্ত মান যার জন্য এই ক্রমটি ম্যান্ডেলব্রট সেট তৈরি করে। এটি ম্যান্ডেলব্রট নিজে এবং অন্যান্য গণিতবিদদের দ্বারা বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছিল, যারা এই সেটের অনেক আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য আবিষ্কার করেছিলেন।

এটি দেখা যায় যে জুলিয়া এবং ম্যান্ডেলব্রট সেটগুলির সংজ্ঞা একে অপরের সাথে মিল রয়েছে। আসলে, এই দুটি সেট ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। যথা, ম্যান্ডেলব্রট সেট হল জটিল প্যারামিটার c এর সমস্ত মান যার জন্য জুলিয়া সেট fc(z) সংযুক্ত রয়েছে (একটি সেটকে সংযুক্ত বলা হয় যদি কিছু অতিরিক্ত শর্ত সহ এটি দুটি বিচ্ছিন্ন অংশে বিভক্ত না হয়)।

ফ্র্যাক্টাল এবং জীবন

আজ, ফ্র্যাক্টাল তত্ত্ব মানুষের কার্যকলাপের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। গবেষণার জন্য একটি সম্পূর্ণ বৈজ্ঞানিক বস্তু এবং ইতিমধ্যে উল্লেখ করা ফ্র্যাক্টাল পেইন্টিং ছাড়াও, গ্রাফিক ডেটা সংকুচিত করার জন্য তথ্য তত্ত্বে ফ্র্যাক্টালগুলি ব্যবহার করা হয় (এখানে ফ্র্যাক্টালগুলির স্ব-সাম্য বৈশিষ্ট্যটি প্রধানত ব্যবহৃত হয় - সর্বোপরি, একটি ছোট অংশ মনে রাখার জন্য একটি অঙ্কন এবং রূপান্তর যার সাহায্যে আপনি বাকি অংশগুলি পেতে পারেন, সম্পূর্ণ ফাইল সংরক্ষণের চেয়ে অনেক কম প্রয়োজনীয় মেমরি)।

ফ্র্যাক্টালকে সংজ্ঞায়িত করার সূত্রগুলিতে এলোমেলো বিভ্রান্তি যুক্ত করে, কেউ স্টোকাস্টিক ফ্র্যাক্টালগুলি পেতে পারে যা খুব প্রশংসনীয়ভাবে কিছু বাস্তব বস্তুকে বোঝায় - ত্রাণ উপাদান, জলাশয়ের পৃষ্ঠ, কিছু গাছপালা, যা সফলভাবে পদার্থবিদ্যা, ভূগোল এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্সে বৃহত্তর অর্জনের জন্য ব্যবহৃত হয়। বাস্তবের সাথে সিমুলেটেড বস্তুর মিল। ইলেকট্রনিক্সে, অ্যান্টেনা তৈরি হয় যার একটি ফ্র্যাক্টাল আকৃতি থাকে। সামান্য স্থান গ্রহণ, তারা বেশ উচ্চ মানের সংকেত অভ্যর্থনা প্রদান.

অর্থনীতিবিদরা মুদ্রার হার বক্ররেখা বর্ণনা করতে ফ্র্যাক্টাল ব্যবহার করেন (ম্যান্ডেলব্রট দ্বারা আবিষ্কৃত একটি সম্পত্তি)। এটি ফ্র্যাক্টালের আশ্চর্যজনক সুন্দর এবং বৈচিত্র্যময় জগতে এই ছোট ভ্রমণের সমাপ্তি ঘটায়।